De abc-formule — ook wel de kwadratische formule genoemd — lost elke kwadratische vergelijking op, ook als ontbinden in factoren niet lukt. Het is een vaste procedure: als je de stappen in de goede volgorde doet, ligt het antwoord er zo. Hieronder zie je hoe.
Wanneer gebruik je de abc-formule?
Je gebruikt de abc-formule voor een vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0. Staat er nog geen 0 aan de rechterkant, dan werk je de vergelijking eerst om zodat alles links staat en rechts 0 overblijft.
De formule
x = (−b ± √D) : (2a)
Eerst bereken je de discriminant D. Daarna vul je D in de formule in. Het plusminusteken betekent dat je twee kanten op rekent: één keer met +, één keer met −.
Hoeveel oplossingen heb je?
- D > 0: twee oplossingen.
- D = 0: één oplossing.
- D < 0: geen oplossingen (in de reële getallen).
Voorbeeld 1: twee oplossingen
Los op: x² − 5x + 6 = 0. Hier is a = 1, b = −5 en c = 6.
- D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1
- x = (5 ± √1) : 2 = (5 ± 1) : 2
- x = 3 of x = 2
Voorbeeld 2: met een negatief getal
Los op: 2x² + 3x − 2 = 0. Hier is a = 2, b = 3 en c = −2.
- D = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
- x = (−3 ± 5) : 4
- x = 0,5 of x = −2
Voorbeeld 3: één en geen oplossing
x² − 6x + 9 = 0 geeft D = 36 − 36 = 0, dus x = 6 : 2 = 3. Er is één oplossing.
x² + 2x + 5 = 0 geeft D = 4 − 20 = −16. De discriminant is negatief, dus er zijn geen oplossingen.
Veelgemaakte fouten
- Tekenfouten bij b, vooral als b negatief is. Zet daarom altijd haakjes: (−5)².
- Vergeten te delen door 2a. De hele teller moet gedeeld worden.
- c gelijk aan een positief getal nemen terwijl er een minteken voor staat.
- De vergelijking niet eerst gelijk aan 0 maken.
Oefenopgaven met antwoorden
- x² − 7x + 10 = 0
- x² + 4x + 4 = 0
- 3x² − 2x − 1 = 0
Antwoorden: 1) D = 49 − 40 = 9, dus x = (7 ± 3) : 2, dus x = 5 of x = 2. 2) D = 16 − 16 = 0, dus x = −4 : 2 = −2. 3) D = 4 + 12 = 16, dus x = (2 ± 4) : 6, dus x = 1 of x = −1/3.
Ontbinden of abc-formule: zo kies je
Bij x² − 5x + 6 = 0 zie je twee getallen (−2 en −3) die vermenigvuldigd 6 geven en opgeteld −5. Dan is ontbinden sneller: (x − 2)(x − 3) = 0, dus x = 2 of x = 3. Zie je zo'n combinatie niet meteen, kies dan de abc-formule. Die werkt altijd.
Zo controleer je je antwoord
Vul je oplossing in de oorspronkelijke vergelijking in. Bij x = 3 in x² − 5x + 6: 9 − 15 + 6 = 0. Dat klopt. Komt er geen 0 uit, dan zit er ergens een rekenfout in de discriminant of de deling.
Hoe bijles wiskunde hierbij kan helpen
De abc-formule is een procedure die je pas beheerst na veel oefenen met verschillende tekens. Bij bijles wiskunde aan huis oefent een vaste docent met opgaven op het niveau van jouw kind, tot tekenfouten niet meer voorkomen.
Veelgestelde vragen
Wanneer kan ik beter ontbinden in factoren?
Als je snel twee getallen ziet die vermenigvuldigd c geven en opgeteld b. Lukt dat niet, dan is de abc-formule de veilige route.
Wat betekent het als de discriminant negatief is?
Dan heeft de vergelijking geen oplossingen in de reële getallen. De grafiek van de parabool raakt of snijdt de x-as dan niet.
Waarom staat er −b in de formule?
Omdat het het tegengestelde van b is. Is b = −5, dan wordt −b gelijk aan 5.